検定について補足

直前のエントリー（Interdisciplinary: ノート：心理学研究法（11） ）の補足。統計的仮説検定の説明を。

まず、調べたい仮説を設定します。ここでは、「惑星ベジータにいるサイヤ人の尻尾の長さと戦闘力には相関関係がある」、とでもしましょうか。つまり、尻尾が長いほど戦闘力が高いか、尻尾が短いほど戦闘力が高い、というどちらかの関係があるというのを確かめたい。

この場合の目標母集団は、ある時点において惑星ベジータにいるサイヤ人、ですね。本当は、サイヤ人一般はそうなのか、というのを調べたいものだと思いますが、取り敢えずは、有限の集合として、このように設定しましょう。

さて、ここからサンプルを抽出する訳ですが、ここで、採り方が問題になります。ベジータ直属のエリート集団から採り出してきたとしても、惑星ベジータに住む人一般、という調べたい母集団の性質に一般化は出来ないという事です。

だから、本来、惑星ベジータに住む全員に番号を振って、そこから無作為に採り出してくる必要があります。実際は、そんな名簿がある社会があるのだろうか、とか、そういう問題が出てくる訳ですが、それを考えると話が複雑になって、標本調査論という専門的な領域の問題になるので、ここでは、全て一元管理されていて、台帳が存在するとしておきます。

さて、段取りは整いました。ここからは、実際に標本を抽出して相関係数を計算する、という流れです。

惑星ベジータの人口がどのくらいかは知りませんが、数万はいる事でしょう。そこから何人かを抽出して、相関係数を計算する訳ですね。

ここで、標本の抽出のされ方、を考えます。大きさ3の標本を採る、としましょうか。今は、母集団から大きさ3の標本をランダムに抽出するのですから、誰が選ばれるかは様々、となります。ベジータとナッパとブロリーが抽出される事もあれば、カカロットとラディッツとターレスが抽出される事もある（←突込んだら負け）。で、そのあり得る組み合わせでの相関係数を全て計算してグラフにすれば、標本相関係数の分布が描けます。これが、「標本分布（または標本抽出分布）：sampling distribution」です。

これを踏まえて、検定の話です。

確かめたい仮説は、（以下、一部省略して書く）「尻尾の長さと戦闘力に相関関係がある」、でしたね。で、検定においては、それを調べるために、その仮説を否定する仮説を立てます。つまり、「尻尾の長さと戦闘力に相関関係が無い」という仮説。これを具体的に数学的に書くと、「尻尾の長さと戦闘力の母集団における相関係数（母相関係数）はゼロである」、となります。これを否定出来れば、元々確かめたい仮説が支持される、という寸法であります。そして、その否定したい仮説を、「帰無仮説」と呼ぶ訳です。

そして、その帰無仮説が正しいとした場合の母集団からサンプルを採り出して相関係数を計算して、その相関係数の分布を求める事が出来ます。母集団での相関係数がゼロであった場合の、標本相関係数の分布。標本統計量の分布を「標本分布」というのでしたね。で、帰無仮説が正しいとした場合の標本統計量の分布を特に、「帰無分布」と言います。要するに、帰無仮説が正しければ標本ではどういう値が出るか、という事。それは数学的に導けます。

で、実際に標本を抽出します。3とかではあまりにも小さいので、何十かにしましょう。当然、こういう検定の場合、普通は標本は一度採ります。つまり、何十人かを台帳からランダムに選んで、実際に尻尾の長さを測り、スカウターで戦闘力を測定する訳です。

そうすると、標本における相関係数が計算出来ますね。この相関係数は、標本統計量です。検定の場合は特に、「検定統計量」と呼びます。

先にも言った通り、全部を調べる事は出来ないので、一部を調べるしか無い訳です。ナッパやベジータが選ばれる場合もあれば、カカロットやブロリーが選ばれる場合もある。何通りもある訳ですね。だから、実際に得られた（実現値）相関係数は、何通りも選ばれる可能性のある相関係数の一つ、という事です。

上で、帰無仮説を立てました。そして、帰無仮説が正しい場合の、「標本相関係数の分布（帰無分布）」も数学的に導ける、と言いました。という事は、実際に得た標本から計算した相関係数が、その帰無分布のどこら辺に落ちるか、というのも解るのですね。

つまり、帰無仮説が正しいとしたら、実際に得た相関係数より極端な値が出る確率はこのくらいだ、というのを調べる事が出来る。母集団の相関係数がゼロの場合にこの標本が出るのはおかしい/おかしく無い　と判断する訳です。

そして、その判断の基準を、「有意水準（危険率）」と呼ぶのです。それはあらかじめ決めておきます。で、実際に得られた統計量より極端な値をとる確率が有意水準より小さい場合、「帰無仮説が間違っているのだろう」と判断するのです（帰無仮説を棄却する）。これが、「有意」であるという事です。